Admitere Matematică 2019 — iulie — M1 Varianta A

Să se determine mulțimea valorilor lui $a\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $\ln(1+2x)-x^{2}=a$ să aibă o singură soluție strict negativă.

a) $a\in(-e,e)$; b) $a\in(0,\ln 2)$; c) $a\in(-1,\ln 2)$; d) $a\in(-\infty,0)$; e) $a\in\left(0,\ln 2-\dfrac{1}{4}\right)$; f) $a\in\left(\dfrac{1}{2},\ln 3\right)$.

Pentru $r>0$, fie mulțimea $M=\{z\in\mathbb{C}\ ;\ |z|=1\ \text{și}\ |z-3i|=r\}$. Fie $A=\{r>0\ ;\ M\ \text{are un singur element}\}$. Să se determine suma $S$ a elementelor mulțimii $A$.

a) $S=6$; b) $S=5$; c) $S=4$; d) $S=2$; e) $S=8$; f) $S=12$.

Fie $P$ un polinom cu coeficienți reali astfel încât $P(1)+P(2)+\ldots+P(n)=n^{5}$, pentru orice număr natural $n\ge 1$. Să se calculeze $P\left(\dfrac{3}{2}\right)$.

a) $\dfrac{225}{49}$; b) $\dfrac{121}{16}$; c) $\dfrac{114}{31}$; d) $\dfrac{47}{15}$; e) $\dfrac{91}{17}$; f) $\dfrac{169}{25}$.

Dacă $a$, $b$ și $c$ sunt determinate astfel încât să aibă loc egalitatea $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{5}}\int_{0}^{x}(a+b\cos t+c\cos 2t)\,dt=\dfrac{1}{5}$, să se calculeze $S=|a|+|b|+|c|$.

a) $S=16$; b) $S=18$; c) $S=14$; d) $S=24$; e) $S=20$; f) $S=22$.