Probleme

Să se determine mulțimea valorilor parametrului real $m$ pentru care matricea $\begin{pmatrix} 2 & x & 3 \\ m & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$ are rangul trei pentru orice $x<0$.

a) $\left(\dfrac{2}{3},1\right)$; b) $\left(\dfrac{5}{3},2\right]$; c) $\left(\dfrac{1}{2},2\right)$; d) $\left[-1,\dfrac{4}{3}\right]\cup\{2\}$; e) $\left[-\dfrac{1}{3},2\right]$; f) $\left(\dfrac{1}{3},1\right)$.

Pentru $n\in\mathbb{N}^*$ se consideră numerele nenule $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ în progresie geometrică astfel încât suma lor este $4$ ori mai mare decât suma termenilor de rang par. Atunci rația este:

a) $3$; b) $\dfrac{2}{5}$; c) $\dfrac{1}{2}$; d) $\dfrac{1}{3}$; e) $6$; f) $1$.

Care este valoarea maximă a sumei $a+b$ care se calculează în ultima instrucțiune din funcția h la cel mai adânc nivel al recursivității, pentru apelul h(0, 2026)?

(varianta C/C++)

void h(int a, int b) {
    int m;
    if(a > b) return;
    m = (a + b)/2;
    printf("%d", m % 10); // cout<<m % 10;
    h(a, m - 1);
    h(m + 1, b);
    printf("%d", (a + b) % 10); // cout<<(a + b) % 10;
}

a) $2025$; b) $6$; c) $1013$; d) $2026$; e) $506$; f) $4052$.

Considerăm $G$ un graf neorientat cu $2026$ de noduri și $2000$ de muchii. Fie $m$ numărul minim de componente conexe și $M$ numărul maxim de componente conexe pentru un graf cu proprietățile lui $G$. Ce valoare are $M-m$?

a) $1925$; b) nu se poate calcula; c) $63$; d) $1937$; e) $199$; f) $1999$.

Să se calculeze $l=\displaystyle\lim_{x\to\pi}\dfrac{\int_0^{\sin x} e^{t^2}\,dt}{\int_0^{\operatorname{tg} x} e^{t^2}\,dt}$.

a) $l=0$; b) $l=\infty$; c) $l=-1$; d) $l=1$; e) $l=-\infty$; f) $l=2$.

Fie următorul algoritm în pseudocod, unde determinareMaxim este o funcție care determină elementul cu valoare maximă dintr-un tablou unidimensional cu $n$ elemente denumit vect. Toate tablourile folosite în acest algoritm sunt unidimensionale și vor fi indexate de la $0$. Tabloul t1 are $10$ elemente, t2 are $n$ elemente. Atât t1 cât și t2 sunt inițializate cu valori de $0$.

max <- determinareMaxim(vect, n)
pentru i <- 0, n-1, pas=1 executa
|   t1[vect[i]] <- t1[vect[i]] + 1
|_
pentru i <- 1, max, pas=1 executa
|   t1[i] <- t1[i] + t1[i - 1]
|_
pentru i <- n - 1, 0, pas=-1 executa
|   t2[t1[vect[i]] - 1] <- vect[i]
|   t1[vect[i]] <- t1[vect[i]] - 1
|_
pentru i <- 0, n - 1, pas=1 executa
|   vect[i] <- t2[n - i - 1]
|_

Ce valoare are elementul cu indexul $2026$ din vect, după aplicarea algoritmului, dacă n are valoarea $4000$, iar tabloul vect a fost inițializat (înainte de aplicarea algoritmului propus) folosind vect[i] = i % 10, unde x % y reprezintă restul împărțirii lui x la y?

a) $5$; b) $4$; c) $9$; d) $3$; e) $6$; f) $7$.

Să se determine suma pătratelor soluțiilor ecuației $\min\left\{1,x+2,\dfrac{5+4x}{7}\right\}=\dfrac{2x+1}{3}$, $x\in\mathbb{R}$.

a) $26$; b) $22$; c) $24$; d) $1$; e) $25$; f) $42$.

Fie o matrice de $n$ linii și $n$ coloane. Un număr de elemente $k \ge 1$ din matrice sunt impare, restul fiind pare. Câte submulțimi nevide cu elemente putem construi, astfel încât suma elementelor unei submulțimi să fie pară, dacă $n=4$ și $k=2$?

a) $512$; b) $32768$; c) $16384$; d) $16$; e) $256$; f) $32767$.

Două numere naturale distincte, fiecare având exact $3$ cifre, sunt considerate partenere dacă primele două cifre ale primului număr sunt egale cu ultimele două cifre ale celui de-al doilea număr, în aceeași ordine. Indicați numărul perechilor de numere partenere cu exact $3$ cifre în care primul număr din pereche este strict mai mic decât al doilea.

a) $8100$; b) $3996$; c) $4104$; d) $4005$; e) $8091$; f) $4095$.

Fie $z$ un număr complex, $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$. Dacă $\dfrac{z}{z^2+4}$ este număr real, să se calculeze $|z|$.

a) $|z|=4$; b) $|z|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$; c) $|z|=2\sqrt{2}$; d) $|z|=\sqrt{3}$; e) $|z|=\dfrac{1}{2}$; f) $|z|=2$.

Fie următoarea funcție definită în pseudocod, unde x % y reprezintă restul împărțirii lui x la y. Care este rezultatul apelului f(1234567, 0)?

intreg f(intreg n, intreg k) {
    daca (n == 0) returneaza 1;
    rez <- f(n / 10, k);
    daca ((k % 10 - n % 10) != 1)
        rez <- rez + f(n / 10, k * 10 + n % 10);
    returneaza rez;
}

a) $7$; b) $128$; c) $14$; d) $64$; e) $10$; f) $34$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=e^{-x}(x^2+ax+5)$. Mulțimea valorilor parametrului real $a$ pentru care funcția $f$ are un maxim local și un minim local este:

a) $(-\infty,-4)\cup(4,\infty)$; b) $(-2,2)$; c) $(4,\infty)$; d) $(-3,-2)$; e) $(-\infty,-4)$; f) $(-4,4)$.

Fie șirul lui Fibonacci $(F_n)_{n\ge 0}$: $F_0=0$, $F_1=1$, iar pentru $n\ge 2$: $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$. Fie funcția recursivă $f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ definită prin $f(0)=0$, $f(1)=1$, iar pentru $n\ge 2$: $f(n)=f(n-1)+(-1)^n\cdot F_{(n \bmod 5)+1}$ (unde mod este restul împărțirii întregi). Ce valoare are $f(2026)$?

a) $5$; b) $4$; c) $0$; d) $8$; e) $-5$; f) $1$.

Fie un șir S format din literele a și b, grupate ca blocuri consecutive după următoarea regulă: 4 de a, apoi 7 de b, apoi 5 de a, apoi 6 de b, apoi 8 de a, apoi 4 de b, apoi 6 de a, apoi 9 de b, adică șirul format după regula descrisă arată astfel: S = aaaabbbbbbbaaaaabbbbbbaaaaaaaabbbbaaaaaabbbbbbbbb. Un subșir al lui S este numit valid dacă conține același număr de caractere a și b și toate caracterele a sunt consecutive și toate caracterele b sunt consecutive (de exemplu subșirurile de forma aaaabbbb, bbbbaaaa, aaabbb, ab, etc. sunt valide). Câte subșiruri valide sunt în S?

a) $34$; b) $34!$; c) $26$; d) $2^{17}$; e) $17$; f) $37$.

Fie $\mathcal{F}$ mulțimea funcțiilor $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, continue pe $[0,1]$ și de două ori derivabile pe $(0,1)$, astfel încât $f(0)=f(1)=0$ și $f''(x)\ge -2$, pentru orice $x\in(0,1)$. Să se determine valoarea maximă a integralei $\int_0^1 f(x)\,dx$, atunci când $f\in\mathcal{F}$.

a) $\dfrac{1}{4}$; b) $1$; c) $\dfrac{1}{6}$; d) $\dfrac{1}{2}$; e) $\dfrac{1}{3}$; f) $\dfrac{1}{8}$.

Considerăm un graf neorientat complet cu nodurile $\{1,2,\dots,10\}$. Alegem exact $9$ muchii astfel încât subgraful format are următoarele proprietăți: (1) este conex; (2) nu conține niciun ciclu; și (3) nodurile $1$, $2$, $3$ și $4$ au gradul $1$ în subgraful format. Câte astfel de alegeri distincte putem face pentru ca subgraful rezultat să îndeplinească toate cele trei condiții?

a) $6^8$; b) $4!\cdot 6^4$; c) $10^8$; d) $7^8$; e) $10\cdot 6^7$; f) $6^7$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\operatorname{arctg}\dfrac{1}{x^2-1}$. Care dintre următoarele afirmații nu este adevărată?

a) $f$ are două puncte de inflexiune; b) $f$ este funcție pară; c) $f$ are asimptotă verticală; d) $f$ este funcție mărginită; e) $f$ are asimptotă orizontală; f) $f$ are un punct de maxim local.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 1 & 2025 & 2 \\ 2024 & 2 & 2024 \\ 2 & 2025 & 3 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Valoarea raportului $\dfrac{\det(A^{2025})}{\det(A^{2024})}$ este egală cu:

a) $2025\cdot 2024$; b) $2025$; c) $\dfrac{2025}{2024}$; d) $1$; e) $-2$; f) $0$.

Să se determine coeficientul lui $x^6$ din dezvoltarea $(1+x+x^3)^6$.

a) $70$; b) $75$; c) $78$; d) $79$; e) $76$; f) $80$.

Se definește $ARB(n)$ un arbore binar în care: toate nodurile au $0$ sau $2$ copii; toate frunzele sunt pe același nivel; numărul de niveluri este $n$. Rădăcina este pe nivelul $1$ și are valoarea $1$. Un nod cu valoarea $x$ (care nu este frunză) are: copilul stâng: $2x$; copilul drept: $2x+1$. Exemplu: $ARB(3)$ conține $7$ noduri, iar $sum(ARB(3))=103$. Cât este: $sum(ARB(5))-sum(ARB(4))$? a) $3072$; b) $2987$; c) $2869$; d) $3061$; e) $2976$; f) $3125$.

Fie $a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$ astfel încât $\log_a b=\dfrac{4}{3}$ și $\log_c d=\dfrac{5}{6}$. Dacă $c-a=37$, atunci $b-d$ este:

a) $49$; b) $56$; c) $38$; d) $52$; e) $42$; f) $64$.

Fie secvența de program de mai jos, unde $n$ și $i$ sunt variabile de tip întreg, iar $a$ și $b$ sunt două tablouri unidimensionale (vectori) de întregi. Dacă $n=6$ și $a=(2,1,5,3,4,6)$, $b=(1,3,5,2,4,6)$, atunci, după rularea secvenței de mai jos, cele două variabile $a$ și $b$ vor fi:

(varianta C/C++)

for(i=0;i<n;i++) a[i]=a[b[n-i-1]-1];
for(i=0;i<n;i++) b[n-i-1]=b[a[i]-1];

a) a=(6,3,3,4,3,6), b=(6,5,5,5,5,6); b) a=(1,2,3,4,5,6), b=(6,5,4,3,2,1); c) a=(1,2,3,4,5,6), b=(1,2,3,4,5,6); d) a=(6,5,4,3,2,1), b=(6,5,4,3,2,1); e) a=(2,1,5,3,4,6), b=(1,3,5,2,4,6); f) a=(1,3,5,2,4,6), b=(2,1,5,3,4,6).

Fie următoarea afirmație: „Orice graf pentru care 2 este numărul minim de culori este un graf bipartit sau este un graf eulerian.”; unde numărul minim de culori al unui graf reprezintă numărul cel mai mic de culori necesare pentru a colora vârfurile grafului astfel încât două vârfuri adiacente să nu aibă aceeași culoare. Câte dintre următoarele grafuri reprezintă un contra-exemplu pentru această afirmație?

[Graf 1: noduri D, A, B, C; muchii D—A, D—B, D—C, A—B, A—C, B—C.]

[Graf 2: noduri A, B, C, D, E, F; muchii A—B, A—D, B—C, C—D, D—E, C—E; nodul F este izolat (fără muchii).]

[Graf 3: noduri A, B, C; muchii A—B, A—C, B—C.]

[Graf 4: noduri A, B, C, D, E, F; muchii A—D, A—E, B—D, B—E, B—F, C—E, C—F.]

[Graf 5: noduri A, B, C, F, G; muchii A—B, A—C, C—F, C—G.]

a) 5; b) 0; c) 3; d) 2; e) 4; f) 1.

Care dintre următoarele expresii verifică proprietatea $|x-a| < b$ pentru $a, b, x$ întregi?

I1. a-b < x && x < a+b
I2. a-b < x || x < a+b
I3. a+b < x && x < a-b
I4. a-b < x < a+b
I5. x < a+b

a) I3; b) I5 și I5; c) I4; d) I1; e) I2 și I5; f) I5.

Aflați valorile lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $xe^x-me^x+1=0$ admite două soluții reale distincte.

a) $m\in(1,\infty)$; b) $m\in\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$; c) $m\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)$; d) $m\in(-\infty,-1)$; e) $m\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$; f) $m\in\left(-1,-\dfrac{1}{2}\right)$.