Admitere Matematică 2022 — iulie — Varianta 1

Fie sistemul
$$\begin{cases} mx+y-z=1 \\ x+y-z=2 \\ -x+y+z=0 \end{cases}$$
unde $m$ este un parametru real. Pentru câte valori $m\in\mathbb{Z}$ sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$, cu componentele numere întregi?

a) $4$; b) $3$; c) $1$; d) o infinitate; e) $2$; f) $5$.

Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\displaystyle\int_0^1 |x-t|\,dt$. Să se calculeze $I=\displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,dx$.

a) $I=\dfrac{11}{2}$; b) $I=\dfrac{8}{5}$; c) $I=\dfrac{4}{3}$; d) $I=\dfrac{1}{2}$; e) $I=\dfrac{1}{5}$; f) $I=\dfrac{7}{3}$.

Să se afle valorile parametrului real $m$ astfel încât ecuația $x^2+1=me^{-\frac{1}{x}}$ să aibă trei soluții reale distincte.

a) $m>2e$; b) $m\in(1,e)$; c) $m\in(1,e^2)$; d) $m\in(e,2e)$; e) $m<2e$; f) $m\in(0,1)$.

Fie $f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{R}$, $f(n)=n+\left[\dfrac{2022}{n}\right]$, unde prin $[x]$ notăm partea întreagă a numărului real $x$. Pentru câte valori $n\in\mathbb{N}^*$, funcția $f$ își atinge cea mai mică valoare?

a) $6$; b) $2$; c) $4$; d) $1$; e) $3$; f) $5$.