Pre-admitere Matematică 2024 — 20 aprilie — Varianta F

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x\cdot e^{1/x}$. Care dintre următoarele afirmații este falsă?

a) ecuația $f(x)=3$ are două soluții reale distincte; b) ecuația $f(x)=-1$ are o singură soluție reală; c) funcția $f$ are două puncte de inflexiune; d) graficul funcției $f$ are asimptotă oblică; e) funcția $f$ are un singur punct de extrem local; f) graficul funcției $f$ are o singură asimptotă verticală.

Fie mulțimea $M=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Să se determine numărul submulțimilor $S$ ale mulțimii $M$ cu proprietatea că există elementele $a$, $b$, $c$ ale mulțimii $M$ astfel încât $a<b<c$, cu $a\in S$, $b\notin S$ și $c\in S$.

a) $96$; b) $106$; c) $100$; d) $78$; e) $87$; f) $99$.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$. Dacă $X(a)=I_2+aA$, $a\in\mathbb{R}$, să se determine numărul real $t$, știind că $X(2^t)=X(1)\cdot X\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot X\left(\dfrac{1}{3}\right)\cdot\ldots\cdot X\left(\dfrac{1}{1024}\right)$.

a) $t=7$; b) $t=14$; c) $t=-5$; d) $t=10$; e) $t=-7$; f) $t=9$.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, cu $f(0)=-2$, care admite primitiva $F$. Dacă $f(x)+2F(x)=3$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$, să se calculeze $f(-1)$.

a) $2e^2$; b) $e^2$; c) $-4e^3$; d) $-2e^2$; e) $-e^3$; f) $2e^{-2}$.